Fractales : A la recherche de la dimension cachée

Documentaire  sur ce terme qui a été inventé par le mathématicien Benoit Mandelbrot pour décrire la géométrie de la nature, dont les formes complexes et irrégulières échappent à la géométrie classique, et qui intéressent la science et la technologie.

Le mot fractale est un néologisme créé par Benoît Mandelbrot en 1974 à partir de la racine latine fractus, qui signifie brisé, irrégulier. Dans la “théorie de la rugosité” développée par Mandelbrot, une fractale désigne des objets dont la structure est invariante par changement d’échelle.

Une particularité des fractales comme de la nature est la répétition de formes similaires à différentes échelles d’observation. Ainsi, une partie d’un nuage ressemble au nuage tout entier, et un rocher rappel les formes de la montagne. Une forme typiquement fractale est celle du chou-fleur, ou du brocoli, dont les parties sont exactement à l’image du tout.

Le mérite de Mandelbrot, est d’avoir trouvé ce qu’il y avait de commun à des choses aussi diverses que certaines figures géométriques étranges comme, un flocon de neige, la longueur des côtes, le régime des crues de certains fleuves, le relief terrestre, la distribution des galaxies, la structure des poumons, et des travaux mathématiques très théoriques sur la notion de dimension, sur l’itération de polynômes complexes etc.

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“L’effet Joseph” ou l’application des fractales à la finance

Vous avez peut-être entendu parler de Benoît Mandelbrot comme étant l’inventeur des fractales. Mais il s’est aussi intéressé à la finance, introduisant les concepts d’un “effet Joseph”, qu’illustre aujourd’hui fort bien le cours de l’or et également d’un “effet Noé” qui a plus tard été repris sous l’appellation de “black swann” ou “cygne noir” en français. Mais les gens n’inventent rien. Tout ça était déjà connu dans les années 70. Le Collège de France avait même invité Mandelbrot à lui présenter ces choses dans une série de trois exposés d’une clarté admirable, dont le texte est malheureusement devenu introuvable aujourd’hui, même sur l’internet.

LA RECHERCHE • Que sont les fractales?

BENOIT MANDELBROT • Les fractales sont des objets géométriques qui ont la propriété que voici: ils peuvent être décomposés en fragments dont chacun a la même forme que le tout. Dans le cas de la Bourse, l’objet géométrique est une de ces courbes très irrégulières qui donnent, par exemple, le prix d’une action en fonction du temps.

Les journaux reproduisent ces courbes selon un format “paysage” de largeur et hauteur données. Mais supposez qu’on ne prenne en considération qu’une partie d’une telle courbe; par exemple, au lieu de suivre un prix sur cinq ans, on peut décider de le suivre, mais avec une précision croissante, sur une année, quelques mois, voire quelques jours.

La courbe partielle sera, elle aussi, imprimée selon le format “paysage.” C’est là qu’interviennent les fractales. Une fractale auto-affine est un objet géométrique pour lequel les parties ainsi réduites suivent les mêmes règles que le tout. Que l’on considère un cours boursier sur une longue période, ou sur une courte période, les détails seront tout à fait différents, mais l’allure générale, les règles générales, seront très semblables.

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Bernays, ou la révolution du spin

L’indispensable Consciences sous influence de Stuart Ewen – dont la réédition devient plus urgente que jamais – révèle les prodromes du dol patent des décideurs de réduire les hommes au stade de servo-mécanismes actionnables et dirigeables à merci. A l’époque étudiée, maîtriser les masses impliquait la création d’une mentalité mécanique, aux réactions prévisibles et dénuées d’autonomie. L’idée de changement était implantée symboliquement dans l’esprit des sujets. Le consommatisme devait permettre la satisfaction des pulsions tout en assurant le contrôle social. Bref, depuis près d’un siècle la publicité a cherché une méthode scientifique d’influence psychique.

Dans ce domaine, le pionnier de l’ingénierie sociale fut incontestablement Edward Bernays. Neveu de Freud et lecteur de la Psychologie des foules de Gustave Le Bon, il comprit avant l’heure les mécanismes régissant le comportement humain. On peut d’ailleurs regretter que pratiquement aucun de ses livres ne soit traduit en français, pas même celui dont fut tirée la célèbre formule de « fabrication du consentement » (The engineering of consent). Promoteur d’un « capitalisme cynique », selon Christian Salmon, il anticipa sur les manipulations de masse omniprésentes amenées à se développer pour s’en faire le héraut et le praticien. Il conçut le spin (1), cette propagande de la com’ qu’il rebaptisa « conseil en relations publiques » afin d’en améliorer l’image dans l’opinion.

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Alerte, les robots ont pris le pouvoir dans la finance !

Pour faire simple, les quants sont des mathématiciens et programmeurs informatiques et sont au cœur d’une révolution dans la finance : le commerce d’actifs financiers à la vitesse de la lumière via des robots matheux. Mais le problème des quants n’est pas uniquement un problème de robots puisque leurs travaux conduisent presque toujours à la sous-estimation systématique des événements rares.

Décrire la réalité du monde avec les chiffres est une tendance qui semble s’accélérer. Ainsi, la technologie numérique s’associe avec les modèles financiers pour montrer que nous, “humains“, interagissons avec notre environnement à l’aide de modèles mathématiques. Ces modèles peuvent être très complexes pour une majorité de personnes, mais un commerçant n’a nullement besoin de maîtriser les modèles d’ingénierie financière pour comprendre la situation de son magasin et décider.

Pour notre commerçant, même si le hasard ne peut pas être prédit ou contrôlé, il n’est pas moins suggestif. Les modèles mathématiques peuvent être brillants, mais plus ils le sont, plus ils peuvent avoir tendance à vouloir modéliser le monde tel que l’on souhaiterait qu’il soit. En fait, le problème n’est pas tant les modèles mathématiques, mais la manière dont nous les utilisons.

Et en termes d’utilisations, nous avons franchi la ligne jaune avec les quants, apparus sur le devant de la scène après le krach financier éclair du 6 mai 2010 (Wall Street a plongé de 9% pendant 20 minutes). Pour faire simple, les quants sont des mathématiciens et des programmeurs informatiques réunis dans les salles de marché des grandes banques d’investissement du système financier mondial. Les quants sont au cœur d’une autre révolution dans la finance : le commerce d’actifs financiers à la vitesse de la lumière via des robots matheux.

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La crise n’a pas remis en cause les modèles mathématiques utilisés dans les banques

Trop simples, les modèles mathématiques n’ont pas su prévenir l’effondrement de la finance mondiale, résumaient les spécialistes de mathématiques financières réunis en début d’année, à Paris, par l’Institut Europlace. Le temps passe, et rien ne change, semble-t-il.

Benoît Mandelbrot, mathématicien auteur de la théorie des fractales, alerte depuis les années 1960 sur les dangers des modèles mathématiques inspirés de l’étude du mouvement brownien, utilisés en finance. Son dernier livre, Une approche fractale des marchés (Odile Jacob, 2004), paru quatre ans avant la crise financière, était prémonitoire. Mais il ne fut guère écouté.

Ses travaux ne semblent guère davantage pris en compte maintenant que la crise est passée, a-t-il confirmé au Monde lors de son passage à Paris, le 11 octobre.

Certains de ses collègues, mathématiciens ou physiciens, dissidents du modèle brownien, et qui espéraient aussi que la crise allait enfin donner du crédit à leurs travaux, confirment. Ils redoutent qu’une crise financière aussi grave ne survienne dans les prochaines années et se désolent de voir que les modèles alternatifs qu’ils proposent ne soient pas plus utilisés.

“La crise financière est comparable à un court-circuit électrique. Un réseau électrique périmé, en l’occurrence une modélisation mathématique inadaptée, a provoqué un court-circuit qui a déclenché un incendie ; c’est la crise économique”, résume Christian Walter, chercheur à l’EM Lyon et coauteur du livre Le Virus B, crise financière et mathématiques (Seuil, 2009, 128 p., 14 euros). “Les pompiers ont inondé les marchés avec des liquidités. Et maintenant, on repeint la maison, mais sans refaire le réseau électrique ! Le court-circuit peut se reproduire. Ces outils sont dangereux.” Lire la suite